Modeling the conductance and DNA blockade of solid-state nanopores
S. W. Kowalczyk, A. Y. Grosberg, Y. Rabin, et al
摘要
我们介绍了固态纳米孔的离子电导G的测量和理论模型，直径为5–100 nm，并在孔中插入有或没有DNA。首先，我们表明必须包括访问电阻以描述电导，特别是对于较大的孔径。然后，我们为沙漏形孔的G提供了一个精确的解决方案，该解决方案与我们的测量非常吻合而没有任何可调参数，并且对圆柱近似的改进是一种改进。随后，由于将DNA分子插入孔中，我们讨论了电导阻滞G，我们在实验上研究了孔直径的函数。我们发现G随孔直径减小，与预测恒定G的早期模型的预测相反。我们比较了G的三个模型，所有模型与我们的实验数据提供了良好的一致性。
介绍
固态纳米孔是薄合成膜上的纳米尺寸孔洞，是检测和操控带电生物分子的多功能工具。外部电场驱动生物分子穿过纳米孔，导致跨孔离子电流发生特征性的瞬态变化。这种方法可用于灵敏的单分子生物传感平台，目前许多研究都针对纳米孔DNA测序。
了解纳米孔的电导是任何纳米孔实验的基础。然而，迄今为止，纳米孔电导模型过于简化。在大多数关于DNA跨纳米孔转运的研究中，除少数例外，都假设(a)电位降主要发生在孔径上，且(b)孔径呈圆柱形。然而，在许多情况下，尤其是当孔径相对较宽且长度较短时，孔外介质的电阻（称为进入电阻）以及相应的电位降会非常显著。此外，实验测量表明固态纳米孔呈沙漏形而非圆柱形。不考虑这些因素的简单模型会预测错误的开孔电导值G（尤其是对于孔径大于膜厚度的宽孔），以及与孔径无关的恒定电导阻塞值G，这与实验数据相矛盾。
因此，我们开发了一个更符合实际的沙漏形（双曲面）纳米孔离子电导的无参数模型，该模型可以同时捕捉孔径主导和通道主导的阻力机制。理论预测与实验数据的比较表明两者高度吻合。此外，我们还探讨了一个问题：DNA分子插入纳米孔后，离子电导如何变化？为了回答这个问题，我们测量了G与孔径的关系，并将结果与圆柱形或沙漏形纳米孔的简单几何模型进行比较。
我们测量了20 nm厚氮化硅 (SiN) 膜上钻孔的电导率与孔径的关系。
实验的详细信息见第一部分。简而言之，将带有纳米孔的膜安装在微流体流动池中，并密封在样品两侧的液体隔室中。测量在室温、pH 8.0、含有10 mM Tris-HCl和1 mM EDTA的1 M KCl盐溶液中进行。在孔上施加-0.2至+0.2 V之间的电压，并记录离子电流。在此电压范围内获得了完全线性的电流-电压曲线。我们测量了大量孔径在5至100 nm范围内的纳米孔的电导率，见图1。我们观察到电导率随着孔径的增加而略微呈非线性上升。
我们首先要讨论这个问题：如何模拟这些孔的电导（G = I/V，电阻的倒数）？需要注意的是，我们仅限于基于几何的电导模型，因为我们考虑了高盐极限，此时可以忽略表面电荷对膜的影响。我们首先考虑纳米孔文献中常用的圆柱形孔的简单表达式：
这里，体电导率 σ（23 ◦C 时为 10.5 S/m）是体电阻率 ρ 的倒数，d 是圆形孔径，l 是膜厚。
需要注意的是，膜的唯一作用是阻碍电流通过；不考虑其他物理效应。将该方程与数据（图 1(a) 中的灰线）拟合表明，虽然在窄孔区域（d 为 15 nm）中，数据可以用上述方程很好地描述，但对于较大的孔径，该模型的拟合效果非常差。
造成这种差异的原因在于，在方程中被忽略的通道电阻在较大的孔径下成为主要贡献因素。
访问电阻的概念源于一般物理学中的以下事实：如果我们考虑浸没在某种介质中的两个球形电极之间的介质电阻，那么这个电阻——乍一看相当令人惊讶——并不取决于电极之间的距离，而只取决于电极的尺寸。这是因为电阻主要由电流接近电极的狭窄区域决定。更具体地说，无限介质中两个球形电极之间的电阻等于4ρ/πd，其中d是电极的直径。基于这个想法，Hille认为孔隙的访问电阻也应该只取决于孔隙尺寸，而不是任何宏观尺寸。具体来说，他通过将孔隙入口上方的半球形圆顶视为有效电极来估算访问电阻，得到出R_{access}=ρ/πd。该系数通过以下事实来解释：首先，我们只有一个尺寸为d的电极，而另一个是宏观的，其访问电阻可以忽略不计；其次，孔隙一侧只有半球形。后来，霍尔意识到半球形圆顶并不能合理地代表实际电极。他考虑在孔隙入口处放置一个平面圆盘，并得出R_{access}=ρ/2d。在本文中，我们将采用该方程来计算进入电阻。
如前所述，纳米孔的总电阻可以写为
因此，利用Hall方程，我们得到以下导度计算方程：
最小二乘拟合表明，当膜厚度 l = 8.6 nm（图 1 中的蓝线）时，该方程与数据 (χ2 红色 = 1.44) 具有极好的拟合度。l 的值低于给定的 20 nm 膜厚度，这是由于电子束钻孔工艺导致孔呈非圆柱形的沙漏形状所致。因此，入口和出口处的孔径大于膜中部的孔径，有效孔长小于膜厚度。
从电子显微镜断层扫描获得的纳米孔的实际形状通常更接近沙漏形而不是圆柱形。因此，我们现在考虑沙漏形孔。与圆柱形孔不同，沙漏形孔具有三个长度特征：除了 l（膜厚度）和 d（最窄直径）之外，还有最宽直径（在膜表面）D（见图 2(a)）。我们可以用双曲面来近似这样的孔隙表面
其中，在 z = 0 时，x^2+y^2=(d/2)^2；在 z = ±l/2 时，x^2+y^2=(d/2)^2。对于这个沙漏形孔隙，我们可以找到图 2(a) 中球体两个蓝色等势块之间电阻 Rhyp 的精确解。为此，我们采用标准方法，根据孔隙形状，采用适当的边界条件，对拉普拉斯方程进行解析求解（详情请参阅 SI，网址为 stacks.iop.org/Nano/22/315101/mmedia）。由此得到以下表达式：
其中 α 是双曲面的渐近开角（见图 2(a)），公式如下
现在，我们必须考虑从孔隙到无穷远处的通道阻力。遗憾的是，似乎很难正确地匹配通道阻力和孔隙本身的贡献。然而，我们知道图 2(b) 插图中从无穷远处到紫色半球的阻力（由 Hille 确定的 ρ/π D 给出），以及从无穷远处到橙色圆盘的阻力（由 Hall 计算的 ρ/2D 给出）。由于蓝色圆顶始终位于紫色线和橙色线之间，我们可以给出总阻力的上限和下限：
其中 R 是远程电极之间测量的全电阻。
通过对孔径形状的实验研究，我们推断出在典型的光束条件下 D ≈ d + 20 nm（请注意，确切的孔径形状取决于 TEM 光束条件，因此即使对于相同直径的孔径，其形状也可能不同）。图 2(b) 显示了 G(d) 的实验数据，并将其与方程 (7) 两个极限的双曲面模型计算结果进行了比较。请注意，采用 D(d) 的实验结果后，沙漏模型没有可调参数。该模型对两个界限（图 2(b) 中的两条线）的预测非常好地将数据括起来。请注意，只能强制圆柱模型拟合数据，代价是将“有效”膜厚度调整为不正确的值（在我们的例子中，最佳拟合值为 8.6 nm，即不到实际膜厚度 20 nm 的一半）。总之，我们发现双曲面模型比圆柱模型效果更好。
在对固态纳米孔的离子电导有了充分的描述之后，我们现在要问：DNA分子插入纳米孔后，电导率会如何变化？人们可能天真地认为，DNA分子插入纳米孔后，电导率的变化量G是一个常数，与孔径无关，因为在所有情况下，阻塞部分纳米孔的分子体积都是相同的。
然而，我们测量了B型双链DNA（λ-DNA）在不同孔径下的G，发现G明显随孔径的增加而减小。图3(a)显示了DNA通过直径为5、15和65纳米的纳米孔的典型情况。图3(b)给出了G随孔径变化的实验值。
简单的方程 (1) 模型无法描述 G(d)，因为它会预测一个常数 G。因此，我们首先考虑包含访问阻力的圆柱形孔模型（方程 (3)），并检验其对 DNA 通过孔道时电导降低的预测。
尽管 DNA 分子同时存在于孔道内外，但它的存在对孔道阻力的影响大于对访问阻力的影响，因为 DNA 分子在孔道内的体积分数（DNA 体积除以孔道内体积）远大于在孔道外的体积分数。对于大孔道，访问阻力在总阻力中占主导地位，因此 DNA 在孔道中的存在对 G 的影响相对较小，与窄孔道相比，G 有所降低。基于几何考虑，我们可以简单地计算 G，即 G = Gopen pore − Gwith DNA = G(d) − G(dwith DNA)，（8）其中 G 由公式 (3) 给出，dwith DNA 是孔隙中 DNA 的有效直径，由下式给出
假设B型双链DNA的dDNA = 2.2 nm，该简单模型无需任何自由拟合参数，即可非常出色地拟合dsDNA的G值与孔径d的关系数据（图3(b)中的蓝线；χ²红色值 = 1.97）。此处，我们采用有效膜厚度l = 8.6 nm，这与图1中数据拟合结果一致。以l作为自由参数的最小二乘拟合结果相似，l = 11.0 nm，χ²红色值也几乎相同，均为1.92。
需要注意的是，单链DNA的情况更为复杂，本文不予考虑，因为单链DNA非常灵活，因此会在进入阻力区域以复杂的方式卷曲，从而以不可预测的方式对G做出贡献。此外，实验发现，ssDNA的G取决于DNA序列：ssDNA均聚物产生的电导阻断幅度相对较小[17]，而异聚物ssDNA产生的阻断幅度非常大[18]。将这些因素考虑进去超出了我们目前的模型，该模型仅适用于持久长度（ssDNA约为1nm；dsDNA约为50nm）大于孔长（在我们的情况下为20nm）的聚合物。
或者，当（圆柱形）DNA位于l = 20nm的沙漏形孔内时（即G由公式(7)给出），也可以使用相同的方法（即公式(8)和(9)）来计算G。这产生了类似的结果，其中极限 1 的 χ2 red = 1.63，极限 2 的 χ2 red = 6.3（见图 3(b)）。Wanunu 等人使用了不同的模型；然而，他们从测量值（而不是从模型）中提取了开孔电导，并且仅考虑了非常窄的孔径范围内的有限尺寸范围（直径为 2.7–4.7 nm）。最后，在 SI 第 4 节（可从 stacks.iop.org/Nano/22/315101/mmedia 获取）中，我们提出了一个孔中含有 dsDNA 的 G 模型，由此获得了封闭形式的解，其中 DNA 分子被视为沿沙漏形孔对称轴插入的双曲面。需要注意的是，虽然将DNA建模为圆柱体显然更佳，但假设DNA和孔隙具有相同的双曲面几何形状可以简化边界条件，并允许对孔隙中的静电势进行拉普拉斯方程的解析解。我们发现该模型与实验数据拟合得相当好（图S8，可从stacks.iop.org/Nano/22/315101/mmedia获取）。虽然该模型具有学术价值，但由于DNA显然不是双曲面，因此实际应用效果较差。
结论
综上所述，我们提供了关于纳米孔电导和DNA阻断的全新实验数据，适用于多种孔径。我们开发了多个理论模型来描述这两者，并获得了理论与实验之间高度一致的结果。我们发现，通常情况下，同时考虑通道阻力和孔阻至关重要。沙漏形孔的开孔电导G的精确解与G的测量值相符（无需任何可调参数）。此外，我们测量了由于双链DNA分子插入引起的多种孔径的电导阻断G，发现G随孔径的增大而显著减小，这与早期预测G恒定的模型的预测结果相反。
我们开发了几个G模型，这些模型与我们的实验数据高度一致。本文提出的G和ΔG模型可以为理解大量基于电导的纳米孔实验奠定基础。